الجبر الخطي الأمثلة

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & - 1 & 4 6 & 0 & - 2 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اختر الصف أو العمود الذي يحتوي على أكثر عدد من

$0$ من العناصر. إذا لم تكن هناك

$0$ من العناصر، فاختر أي صف أو عمود. اضرب كل عنصر في العمود

$2$ في العامل المساعد وأضف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

ضع في اعتبارك مخطط الإشارة المقابل.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.1.2

العامل المساعد هو المختصر مع تغير العلامة إذا تطابقت المؤشرات مع موضع

$-$ على مخطط الإشارة.

خطوة 1.1.3

المختصر لـ

$a_{12}$ هو المحدد مع حذف الصف

$1$ والعمود

$2$ .

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.1.4

اضرب العنصر

$a_{12}$ بعامله المساعد.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.1.5

المختصر لـ

$a_{22}$ هو المحدد مع حذف الصف

$2$ والعمود

$2$ .

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.1.6

اضرب العنصر

$a_{22}$ بعامله المساعد.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

خطوة 1.1.7

المختصر لـ

$a_{32}$ هو المحدد مع حذف الصف

$3$ والعمود

$2$ .

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.1.8

اضرب العنصر

$a_{32}$ بعامله المساعد.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.1.9

أضف الحدود معًا.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.2

اضرب

$0$ في

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

خطوة 1.3

اضرب

$0$ في

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

خطوة 1.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.1

اضرب

$6$ في

$0$ .

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

خطوة 1.4.2.1.2

اضرب

$- 1$ في

$- 2$ .

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

خطوة 1.4.2.2

أضف

$0$ و

$2$ .

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

خطوة 1.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب

$2$ في

$1$ .

$2 + 0 + 0$

خطوة 1.5.2

أضف

$2$ و

$0$ .

$2 + 0$

خطوة 1.5.3

أضف

$2$ و

$0$ .

$2$

خطوة 2

بما أن المحدد ليس صفريًا، إذن يوجد معكوس.

خطوة 3

كوّن مصفوفة

$3 \times 6$ حيث يكون النصف الأيسر هو المصفوفة الأصلية والنصف الأيمن هو المصفوفة المتطابقة.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بدّل

$R_{2}$ بـ

$R_{1}$ لوضع إدخال غير صفري في

$1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.2

اضرب كل عنصر من

$R_{1}$ في

$\frac{1}{6}$ لجعل الإدخال في

$1, 1$ يساوي

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب كل عنصر من

$R_{1}$ في

$\frac{1}{6}$ لجعل الإدخال في

$1, 1$ يساوي

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

بسّط

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.3

احسب العملية الصفية

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ لجعل الإدخال في

$3, 1$ يساوي

$0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

احسب العملية الصفية

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ لجعل الإدخال في

$3, 1$ يساوي

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

بسّط

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

خطوة 4.4

اضرب كل عنصر من

$R_{2}$ في

$- 1$ لجعل الإدخال في

$2, 2$ يساوي

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب كل عنصر من

$R_{2}$ في

$- 1$ لجعل الإدخال في

$2, 2$ يساوي

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

خطوة 4.4.2

بسّط

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

خطوة 4.5

اضرب كل عنصر من

$R_{3}$ في

$3$ لجعل الإدخال في

$3, 3$ يساوي

$1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب كل عنصر من

$R_{3}$ في

$3$ لجعل الإدخال في

$3, 3$ يساوي

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.5.2

بسّط

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

خطوة 4.6

احسب العملية الصفية

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ لجعل الإدخال في

$2, 3$ يساوي

$0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

احسب العملية الصفية

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ لجعل الإدخال في

$2, 3$ يساوي

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

خطوة 4.6.2

بسّط

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

خطوة 4.7

احسب العملية الصفية

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ لجعل الإدخال في

$1, 3$ يساوي

$0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

احسب العملية الصفية

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ لجعل الإدخال في

$1, 3$ يساوي

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

خطوة 4.7.2

بسّط

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

خطوة 5

النصف الأيمن من الصيغة الدرجية المختزلة هو معكوس.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$